\(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=k_1\) şeklinde ifade edilebilen denklemlere birinci dereceden denklem denir. Burada a ile gösterilen değerler katsayıları, x ile gösterilen değerler bilinmeyenleri ve k ile ifade edilen değer de bir sabiti ifade etmektedir. Bu tarz denklemlerin birinci dereceden diye adlandırılmalarının sebebi değişkenlerin hepsinin üssünün 1 olmasıdır.
Örneğin birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
\(ax+b=0\)
Yukarıdaki gösterimde eşitliğin sağ tarafındaki sabit yerine sol tarafa bir sabit konmuştur. Fakat en yukarıdaki formata uyması için birinci dereceden bir denklem \(ax=k\) şeklinde de ifade edilebilir.
Bir eşitlikteki bilinmeyeni bulmak için bazı işlemler yapılabilir:
- Eşitliğin iki tarafına da aynı değer eklenebilir, her iki taraftan da aynı değer çıkarılabilir.
- Eşitliğin her iki tarafı birden sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılabilir, sıfırdan farklı bir sayıya bölünebilir.
Yukarıdaki işlemleri örnek bir denklemdeki bilinmeyeni bulmak için kullanalım:
\(2x+1=4-x\)
\(2x=3-x\)
\(3x=3\)
\(x=1\)
En üstte örnek bir denklem yer almaktadır. İlk adımda denklemin her iki tarafından da "1" çıkarılmıştır. İkinci adımda denklemin her iki tarafına da "x" eklenmiştir. Son adımda da denklemin her iki tarafı da "3"e bölünmüştür ve sonuç olarak x'in değeri 1 olarak bulunmuştur.
- Denklemdeki bilinmeyeni bulmak için denklemin herhangi bir tarafı bilinen başka bir denklemden yararlanılarak dönüştürülebilir.
\(x^2-2x+1=0\)
\(x^2-2x+1=(x-1)^2\)
\((x-1)^2=0\)
\(x-1=0\)
\(x=1\)
Yukarıda yine bir örnek yer almaktadır. İlk adımdaki eşitlik binom açılımından bilinmektedir. Bu nedenle denklemin sol tarafındaki ifade ilk adımdaki eşitliğin sağ tarafındaki ifadeye dönüştürülebilir. İkinci adımda bu yapılmıştır. Bu yapıldıktan sonra kareli bir ifade elde edilmiştir. Bir ifadenin karesinin sıfıra eşit olabilmesi için kendisinin de sıfır olması gerekir. Üçüncü adım da bunu göstermektedir. Son adımda ise denklemin her iki tarafına da "1" eklenmiştir. Sonuç olarak x'in değeri 1 olarak bulunmuştur.
- Her iki tarafa da aynı fonksiyon uygulanabilir. Fakat bu durumda dikkat edilmesi gereken iki farklı durum ortaya çıkabilir:
Yeni denklem orijinal denklemin çözümünü içerir fakat bunun dışında farklı çözümlerle de karşılaşılabilir.
\(x=1\)
\(x^2=1\)
\(x=1\)
\(x=-1\)
Yukarıdaki örnekte denklemin her iki tarafına da \(f(x)=x^2\) fonksiyonu uygulanmıştır. Yeni denklemin iki çözümü vardır. Bunlardan birisi orijinal denklemdeki çözümdür fakat bunun yanında ilk denklemin çözümü olmayan yeni bir çözüm daha oluşmuştur.
Her iki tarafa da her yerde tanımlı olmayan bir fonksiyon uygulanırsa orijinal denklemdeki bazı çözümler kaybolabilir.
\(x^2=1\)
\(x=1\)
\(x=-1\)
\(\sqrt{x^2}=\sqrt{1}\)
\(x=1\)
Yukarıdaki örnekteki denklemin iki çözümü vardır. Bunlar daha önceki örnekte de verilmiştir. Denklemin her iki tarafına da \(f(x)=\sqrt{x}\) fonksiyonu uygulandığında çözümlerden birinin kaybolduğu görülür.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdeki bilinmeyenin değerini bulmak için tek bir denkleme sahip olmak yeterlidir. Yukarıdaki işlemler uygulanarak bilinmeyenin değeri bulunabilir. Sonuç olarak bir değerin dışında ulaşılabilecek iki farklı durum daha vardır. Bunlar \(c_1\) ve \(c_2\) birer sabit olmak üzere \(c_1=c_2\) ve \(0=0\) durumlarıdır.
\(c_1=c_2\) durumunda denklemin çözümü boş kümedir. Örnek olarak aşağıdaki denklem incelenebilir:
\(x+3=x+5\)
\(3=5\)
Buradan çıkarılacak sonuç denklemi sağlayan bir x değerinin olmadığıdır. Zaten denklemin mantığı incelediğinde bu sonuç açıkça görülmektedir. Çünkü denklem 3 fazlasıyla 5 fazlası birbirine eşit olan bir sayıyı araştırmaktadır. Böyle bir sayı olmadığı için denklemin çözümü de yoktur.
\(0=0\) durumunda ise denklemin çözüm kümesi tüm sayıları kapsar. Bu durumda verilecek her türlü değer denklemi sağlayacaktır.
\((x-1)^2-x^2+2x-1=0\)
\((x-1)^2-(x-1)^2=0\)
\(0=0\)
Yukarıdaki denklemi verilecek her türlü x değeri sağlayacaktır.
Bilinmeyen sayısı arttığında karşımıza denklem sistemi kavramı çıkar. Böyle durumlarda birden fazla denklem verilebilir ve denklemlerin hepsinin sağlanması istenir.
\(a_{[1][1]}x_1+a_{[1][2]}x_2+a_{[1][3]}x_3+...+a_{[1][n]}x_n=k_1\)
\(a_{[2][1]}x_1+a_{[2][2]}x_2+a_{[2][3]}x_3+...+a_{[2][n]}x_n=k_2\)
\(a_{[3][1]}x_1+a_{[3][2]}x_2+a_{[3][3]}x_3+...+a_{[3][n]}x_n=k_3\)
...
\(a_{[m][1]}x_1+a_{[m][2]}x_2+a_{[m][3]}x_3+...+a_{[m][n]}x_n=k_3\)
Yukarıdaki gibi bir denklem sistemi verilmiş olsun. Böyle bir durum için farklı durumlar söz konusudur:
- Denklemlerden herhangi birisi yukarıdaki \(c_1=c_2\) durumuna uyuyorsa denklem sisteminin çözümü yoktur.
- Denklemlerden herhangi birisi \(0=0\) durumuna uyuyorsa bu denklemin bir etkisi olmadığı için denklem sisteminin denklemlerinden biri olarak değerlendirilmez.
- Denklemlerden herhangi ikisi arasında aşağıdaki gibi bir ilişki varsa bu denklemler bağımlı denklem olarak adlandırılır ve iki ayrı denklem olarak değerlendirilmez. Bu denklemlerden birisi denklem sisteminden çıkarılmalıdır.
\(\LARGE \frac{a_{[r][1]}}{a_{[q][1]}}=\frac{a_{[r][2]}}{a_{[q][2]}}=...=\frac{a_{[r][n]}}{a_{[q][n]}}=\frac{k_r}{k_q}\)
- Denklemlerden herhangi ikisi arasında aşağıdaki gibi bir ilişki varsa denklem sisteminin çözümü boş kümedir.
\(\LARGE \frac{a_{[r][1]}}{a_{[q][1]}}=\frac{a_{[r][2]}}{a_{[q][2]}}=...=\frac{a_{[r][n]}}{a_{[q][n]}}\neq \frac{k_r}{k_q}\)
Buna örnek olarak aşağıdaki denklem sistemi gösterilebilir:
\(x+y+z=3\)
\(x+2y+z=5\)
\(2x+2y+2z=8\)
Bu denklem sistemindeki birinci ve üçüncü denklemler arasında bahsedilen ilişki vardır. Üçüncü denklemin her iki tarafı da 2'ye bölünecek olursa durum daha net ortaya çıkacaktır. Birinci denklem ile üçüncü denklem aynı toplamların farklı sonuçlar vermesini istemektedir. Bu nedenle bu denklem sisteminin çözümü boş kümedir.
- Denklem sistemindeki denklemlerden hiçbir ikili arasında aşağıdaki ilişki yoksa bu denklem sisteminin tüm denklemleri bağımsız denklemlerdir.
\(\LARGE \frac{a_{[r][1]}}{a_{[q][1]}}=\frac{a_{[r][2]}}{a_{[q][2]}}=...=\frac{a_{[r][n]}}{a_{[q][n]}}\)
- Bir denklem sisteminde bağımsız denklem sayısı ile bilinmeyen sayısı birbirine eşitse denklem sisteminin tek bir çözümü vardır.
\(2x+3y=5\)
\(x+y=2\)
\(2x+3y=5\)
\(2x+2y=4\)
\(y=1\)
\(x+1=2\)
\(x=1\)
\(y=1\)
Yukarıdaki örnekte ilk olarak alttaki denklemin her iki tarafı da 2 ile çarpılmıştır. Daha sonra üstteki denklemden alttaki denklem çıkarılarak y'nin değeri bulunmuş ve alttaki denklemde y'nin yerine bulunan değer yazılmıştır. Bu şekilde iki bilinmeyenin de değeri bulunmuştur.
- Bir denklem sisteminde bağımsız denklem sayısı bilinmeyen sayısından az ise çözüm kümesi sonsuz elemana sahiptir ve çözüm bir veya birden çok parametreye bağlıdır.
\(2x+3y+z=0\)
\(x+y+z=0\)
\(2x+2y+2z=0\)
\(x+2y=0\)
\(x=2t\)
\(y=-t\)
\(2t-t+z=0\)
\(z=-t\)
Yukarıdaki örnekte ikinci ve üçüncü denklemler birbirlerine bağımlı olduğundan üçüncü denklem sistemden çıkarılmış ve ilk denklemden ikinci denklem çıkarılmıştır. Sonrasında x ve y bilinmeyenleri t parametresi cinsinden ifade edilmiştir. Son olarak denklemlerden birinde x ve y yerine t parametresine bağlı değerler yazılmış ve z bilinmeyeni de t parametresi cinsinden bulunmuştur. Görüldüğü gibi üç bilinmeyen de t parametresine bağlıdır. t'nin her değeri için oluşacak olan x, y ve z bilinmeyenleri denklem sistemini sağlayacaktır.
- Bir denklem sisteminde bağımsız denklem sayısı bilinmeyen sayısından fazla ise çözüm kümesi boş kümedir. Bunun tek istisnası denklemlerdeki sabitlerin sıfıra eşit olmasıdır. Bu durumda tüm bilinmeyenlerin sıfır olması denklemi sağlayacaktır.
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
Ortalamalar <<<<< Genel Matematik >>>>> Birinci Dereceden Eşitsizlikler
Çarpanlara Ayırma <<<<<Temel Cebir >>>>> Birinci Dereceden Eşitsizlikler