Ortak Çarpan Parantezine Alma
Bilindiği gibi cebirde sayılardan ziyade onları temsil eden bilinmeyen ve değişkenler üzerinden işlemler yapılır. Bunlar yapılırken en çok kullanılan yöntemlerden birisi ortak çarpan parantezine almadır. Aynı ortak çarpana sahip ifadeler arasında toplama ve çıkarma yapılıyorsa ortak çarpan parantezine alma yapılabilir.
\(x^3+x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x^2-1)(x-1)\)
Yukarıdaki örnekte önce \(x^3\) ve \(x^2\) her ikisinin de içerdiği \(x^2\) çarpanında paranteze alınmış, ardından da \(x^2(x-1)\) ve \(x-1\) her ikisinin de içerdiği \(x-1\) ortak parantezine alınmıştır.
Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı
Cebirde sıklıkla başvurulan bir başka araç da Pascal Üçgeni'dir. Yukarıda görülen üçgen Pascal Üçgeni'nin ilk 6 satırını göstermektedir. En üstteki satır 0. satır olarak adlandırılır. Diğer satırlar şekilde hemen fark edilebileceği gibi en başa ve sona 1 yazılıp diğer sayıların da üst satırdaki komşu sütunlarda bulunan sayıların toplamlarıyla bulunması ile oluşturulmuştur.
Bu üçgen Binom açılımında kullanılmaktadır. Binom açılımı aşağıdaki eşitliği vermektedir:
\((x+y)^n=\large a_{0}x^n+a_1x^{n-1}y+...+a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^n\)
Böyle bir denklemde n. satıra bakılır ve değişkenlerin başındaki katsayıları o satırdaki sayılar oluşturur.
Örnek olarak n=2, n=3 ve n=4 değerleri için açılımı yapalım:
\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)
\((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)
\((x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\)
(x-y) ifadesinin üsleri için de yukarıdaki açılım kullanılarak eşitlikler elde edilebilir. Bunu yapmak için y yerine (-y) yazılırsa (x-y) ifadesinin üslerinin açılımındaki katsayıların bir negatif bir pozitif olduğu görülür. Örnek verilecek olursa:
\((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\)
\((x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\)
\((x-y)^4=x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4\)
Bunun dışında kullanılabilecek yararlı diğer eşitlikler de şunlardır:
İki Kare Farkı
\(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)
İki Küp Toplamı ve İki Küp Farkı
\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)
\(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\)
İkinci Dereceden İfadelerin Çarpanlarını Bulma
\(ax^2+bx+c\) şeklinde bir ifademiz olsun. Burada \((c_2a_1x)+(c_1a_2x)=bx\) eşitliğini sağlayacak
\(a_1x.a_2x=ax^2\) ve \(c_1c_2=c\) çarpanları bulunabilirse şu eşitlik yazılabilir:
\(ax^2+bx+c\)=\((a_1x+c_1)(a_2x+c_2)=bx\)
Bir örnekle açıklayacak olursak:
\(2x^2-x-1\) ifadesini çarpanları cinsinden ifade edelim:
\(2x.x=2x^2\)
\(1.(-1)=-1\)
\((-1)2x+1.x=-x\)
Bu durumda;
\(2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)\)
Bu işlem genel olarak şekil üzerinde yapılır:
Çarpanlar yazılır ve çapraz çarpımlar yapıldıktan sonra yapılacak toplama işlemiyle ortadaki ifadenin bulunması beklenir. Bu sağlanabilirse aynı hizadaki çarpanların toplamıyla elde edilecek yeni terimler ifadenin çarpanları olurlar. Yukarıdaki sonucun elde edildiği görülebilir.
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
Mutlak Değer <<<<< Genel Matematik >>>>> Oran - Orantı
Temel Cebir >>>>> Birinci Dereceden Denklemler