Sayılar

Sayı, nicelik belirtmek için kullanılan soyut kavrama verilen addır ve matematikçilerce farklı kümelere ayrılmışlardır.

Doğal Sayılar

Sayma ve sıralama amacıyla kullanılan sayılara “doğal sayılar” denir. Doğal sayılar kümesi N = {0, 1, 2, ... } olarak ifade edilir. “0” sayısının dışarıda bırakılmasıyla da sayma sayılar kümesi, S = {1, 2, 3, ... } elde edilmektedir.

Ülkemizdeki müfredatta “0” doğal sayılar kümesine dahil edilmektedir. Fakat bu konuda evrensel bir uzlaşı yoktur. Genellikle cebir ve analiz konularındaki yabancı kaynaklarda “0” doğal sayılar kümesine dahil edilmezken, bilişim ve mantıkla ilgili yabancı kaynaklarda “0” da doğal sayı kabul edilir.

Tam Sayılar

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } kümesi ise tam sayılar kümesi olarak adlandırılır. Yukarıda bahsi geçen elemanlara negatif sayıların da eklenmesiyle oluşturulmuştur.

Rasyonel Sayılar

Daha sonra tanımlanan bir küme ise rasyonel sayılar kümesidir. Bu kümenin elemanları, a ve b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere “ \(\large \frac{a}{b}\) ” şeklinde yazılbilen sayılardır. \(\large \frac{1}{2}\), \(\large \frac{7}{6}\) ve \(-\large \frac{3}{5}\) bu sayılara örnek gösterilebilir. Ayrıca hemen fark edilebileceği gibi her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar kümesinin matematiksel gösterimi ise şöyledir:

\(Q=\begin{Bmatrix}\frac{a}{b}\ | a,b\in Z\wedge b\neq 0 \end{Bmatrix}\)

Rasyonel sayıların \(\large \frac{a}{b}\) şeklindeki yazımına kesir ismi verilir. Bu durumda kesre, a < b ise basit kesir, a > b ise bileşik kesir denir. Bileşik kesirler \(c\large \frac{a}{b}\) şeklinde de ifade edilebilirler. Bu şekilde ifade edilmiş kesirlere tam sayılı kesir denir ve bu ifade \(c+\large \frac{a}{b}\) demektir.

Rasyonel sayılar ondalık şekilde de gösterilebilir. \(a_{1},b_{1}b_{2}b_{3}...b_{n}\) şeklindeki sayılarda virgülün sağındaki kısma ondalık kısım denir. Fakat bu kısım bazen yukarıda olduğu gibi kesilmeyip sonsuza kadar da gidebilir. Misalen \(\large \frac{1}{3}\)'ü ondalık gösterimle yazacak olursak şuraya varırız: 0,3333333333.... Böyle sayılara devirli ondalık sayılar denir.

0.333333..... ifadesini kısaca \(0,\bar{3}\) şeklinde gösterebiliriz. Kesirli sayıdan devirli veya devirsiz ondalıklı sayıya geçiş yapabilmek için basit bir bölme işlemi yapmak yeterlidir. Devirsiz bir ondalık sayıyı kesir şeklinde göstermek için ise sayının pay ve paydası 10'un kuvvetlerinden uygun olanıyla çarpılabilir. Peki devirli bir ondalık sayı kesir olarak nasıl gösterilebilir?

Varsayalım sayımız \(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}\overline{b_{3}b_{4}}\) olsun. Bu sayımızın \(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{3}b_{4}b_{3}b_{4}...\) olduğu anlamına gelir. Bu sayı kesirli şekle şu şekilde dönüştürülür:

\(\LARGE \frac{a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}}{9900}\)

Kelimelerle ifade edecek olursak; pay kısmına tüm sayı virgül olmaksızın yazılır ve sayının devretmeyen kısmı (yine virgül yok sayılarak) bu değerden çıkarılır. Payda kısmına ise ondalık kısımdaki devreden rakam kadar 9 devretmeyen rakam kadar da 0 yazılır.

Devirli ondalık sayıyı kesirli sayıya çevirme ve bir örnek

0,999.... = 1 eşitliği doğru mudur?

İrrasyonel Sayılar

Ayrıca  a ve b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere “ \(\large \frac{a}{b}\)” şeklinde yazılamayan sayılar da vardır.\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\) ve \(e\) sayıları bunlara örnek olarak gösterilebilir. Bu sayılara irrasyonel sayılar denir.

\(\sqrt{2}\)'nin irrasyonel olduğunun ispatı

Bir tam sayının karesi olmayan tam sayıların karekökünün irrasyonel olduğunun ispatı

\(\pi\) sayısının irrasyonel olduğunun ispatı

Reel Sayılar

Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşimi reel sayılar kümesini oluşturur. Reel sayılar sayı doğrusu üzerine yerleştirildiğinde hiç boş nokta kalmaz.

1'den n'e kadar olan tam sayıların toplamı \(\large \frac{n.(n+1)}{2}\) bağıntısı ile bulunabilir.

Bir sayının bazı sayılara tam bölünüp bölünmediğini test etmek için bir takım kurallar vardır: - Bir sayının 2'ye tam bölünebilmesi için son basamağı çift olmalıdır. - Bir sayının 3'e tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün tam katı olmalıdır. - Bir sayının 4'e tam bölünebilmesi için  son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'e tam bölünmelidir. - Bir sayının 5'e tam bölünebilmesi için son basamağı 0 veya 5 olmalıdır. - Bir sayının 6'ya tam bölünebilmesi için bu sayı hem 2 hem de 3'e tam bölünebilmelidir. - Bir sayının 8'e tam bölünebilmesi için son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'e tam bölünmelidir. - Bir sayının 9'a tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 9'un tam katı olmalıdır. - Bir sayının 10'a tam bölünebilmesi için son basamağı 0 olmalıdır. - Bir sayının 11'e tam bölünebilmesi için rakamlar bir + bir - olarak işaretlendikten sonra toplandığında çıkan sonuç 11'in tam katı olmalıdır. - Bir sayının 12'ye tam bölünebilmesi için bu sayı hem 4'e hem de 3'e bölünebilmelidir.

Belli bir büyüklükte artan veya azalan sayı gruplarına dizi denir. İlk sayısı a, son sayısı b ve artım veya azalım miktarı r olan bir dizideki terim sayısı şu şekilde bulunur: \(\large S=\left | \frac{a-b}{r} \right |\)

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

Rakam <<<<< Genel Matematik >>>>> Taban Aritmetiği